Determinan

Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur suatu matriks persegi. Determinan matriks A ditulis dengan tanda det(A). Determinan dapat dianggap sebagai faktor penskalaan transformasi yang digambarkan oleh matriks.
Jika matriksnya berbentuk ordo 2 × 2, rumusnya adalah:
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.\end{aligned}}}
dan jika matriksnya berbentuk ordo 3 × 3 matriks A, rumusnya yaitu:
{\displaystyle {\begin{aligned}|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}&=a\,{\begin{vmatrix}e&f\\h&i\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}d&f\\g&i\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}d&e\\g&h\end{vmatrix}}\\&=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh.\end{aligned}}}
Rumus Leibniz untuk mencari determinan matriks n × n yaitu:
{\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma _{i}}\right).}


Invers Matriks

Invers matriks dapat diartikan sebagai kebalikan dari suatu matriks tertentu. Jika suatu matriks bujur sangkar A dikalikan terhadap inversnya yaitu matriks bujur sangkar A^{-1} maka menghasilkan matriks I (matriks identitas pada operasi perkalian matriks).
Jika pada penjumlahan dua matriks, jumlah dua matriks bujur sangkar A dan -A akan menghasilkan matriks nol (matriks identitas pada operasi penjumlahan matriks).
    \[ A \cdot A^{-1} = I\]
    \[ A + (-A) = 0 \]

Invers Matriks Ordo 2 x 2
Invers dari suatu matirks A
    \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \]
dinyatakan dalam rumus di bawah.
Invers Matriks
Contoh menentukan invers matriks A dapat dilihat seperti langkah-langkah berikut.
Diketahui:
    \[ \textrm{A} \; = \; \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]
Tentukan invers dari matrik A!
Pembahasan:
    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{3 \cdot 4 - 2 \cdot 1} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{12 - 2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \]
    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]
    \[ \textrm{A}^{-1} \; = \; \begin{bmatrix}\frac{2}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \end{bmatrix} \]
Baca Juga: Pengertian dan Jenis-jenis Matriks

Invers Matriks Ordo 3 x 3
Cara untuk menentukan nilai invers matriks A dengan ordo 3 x 3 tidak sama dengan cara menentukan invers matriks dengan ordo 2 x 2. Cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3 lebih rumit dari cara menentukan invers matriks 2 x 2. Melalui halaman ini, idschool akan berbagi cara menentukan invers matriks ordo 3 x 3. Simak ulasannyna pada pembahasan di bawah.
Sebelum menentukan invers matriks ordo 3 x 3, perlu dipahami terlebih dahulu mengenai matriks minor, kofaktor, dan adjoin. Simak penjelasannya pada uraian di bawah.
  1. Matriks MinorDiketahui sebuah matriks A dengan ordo 3 seperti terlihat di bawah.

    Invers Matriks Ordo 3 x 3
    Matriks minor M_{ij} adalah matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sehingga diperoleh matriks minor berordo 2 seperti persamaan di bawah.

    Matriks Minor Mij
    Matriks-matriks minor di atas digunakan untuk mendapatkan matriks kofaktor A.

  2. KofaktorKofaktor baris ke-i dan kolom ke-j disimbolkan dengan C_{ij} dapat ditentukan dengan rumus seperti terlihat di bawah.
    Matriks Kofaktor
    Kofaktor di atas akan digunakan untuk menentukan adjoin matriks yang akan dicari nilai inversnya.
  3. AdjoinSecara umum, sebuah matriks memiliki matriks adjoin seperti ditunjukkan seperti pada matriks di bawah.
    Matriks Adjoin A
    Keterangan: C_{ij} adalah kofaktor baris ke-i dan kolom ke-j.
    Sehinnga, adjoin dari matriks A dinyatakan seperti terlihat pada persamaan di bawah.
        \[ Adj(A) \; = \; \; \begin{bmatrix} C_{11} & C_{21} & C_{13} \\ C_{21} & C_{22} & C_{23} \\ C_{31} & C_{32} & C_{33} \end{bmatrix} \]

  4. Invers MatriksBagian terakhir, bagian ini merupakan akhir dari proses mencari invers matriks dengan orde 3 atau lebih.
    Matriks minor, kofaktor, dan adjoin yang telah kita bahas di atas berguna untuk menentukan nilai invers dari suatu matriks dengan ordo matriks di atas 3 atau lebih. Secara umum, cara menentukan invers matriks dapat diperoleh melalui persamaan di bawah.
        \[ A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \cdot Adj(A) \]
    Dengan substitusi nilai determinan matriks dan adjoin matriks maka akan diperoleh invers matriknya


    Sifat-Sifat Matriks

    Tidak semua matriks memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan matriks nonsingular atau matriks invertible. Sedangkan matriks yang tidak memiliki invers dinamakan matriks singular.


Metode Sarrus


Untuk menghitung determinan suatu matriks dapat dilakukan dengan berbagai metode, salah satunya yaitu menggunakan Metode Kofaktor. Selain metode itu, pada kesempatan ini akan dikenalkan Metode Sarrus. Apa itu metode sarrus ? Metode ini sebenarnya sudah dikenalkan sejak duduk di bangku SMA, tapi mungkin dikenalkan nama metodenya (beberapa sekolah ada yang sudah mengenalkan). Misal diberikan matriks A yang berukuran 3 \times 3 yaitu \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}, maka dengan metode sarrus yaitu matriks_sarrusDiperolehdet(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}- a_{12}a_{21}a_{33}. Kenapa bisa diperoleh rumus tersebut ?
Perhatikan Metode Kofaktor pada tulisan sebelumnya, jika diterapkan metode kofaktor tersebut pada matriks 3 \times 3, diperoleh
Minor entri a_{11} yaitu M_{11} = \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}.
Minor entri a_{12} yaitu M_{12} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}.
Minor entri a_{13} yaitu M_{13} = \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}.
Kofaktor a_{11} yaitu C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}.
Kofaktor a_{12} yaitu C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}.
Kofaktor a_{13} yaitu C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}.
Sehingga diperoleh,
det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}
= a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) + a_{12}(a_{23}a_{31}-a_{21}a_{33}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})
= a_{11}a_{22}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32} + a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}.
Jadi, metode sarrus merupakan kasus khusus dari metode kofaktor, yaitu pada matriks berukuran 3 \times 3.


https://id.m.wikipedia.org/wiki/Determinan

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

CP3 Aljabar Linear

Gambar
Kelompok: Afrian Riznaldhy (04218113) M David Ridwan (04218033) M Andika Lucky P (04218105) Sri Caka Arethusa (04218062) import numpy as np def GENP(A, b):     '''     Gaussian elimination with no pivoting.     % input: A is an n x n nonsingular matrix     %        b is an n x 1 vector     % output: x is the solution of Ax=b.     % post-condition: A and b have been modified.     '''     n =  len(A)     if b.size != n:         raise ValueError("Invalid argument: incompatible sizes between A & b.", b.size, n)     for pivot_row in xrange(n-1):         for row in xrange(pivot_row+1, n):             multiplier = A[row][pivot_row]/A[pivot_row][pivot_row]             #the only one in this column since the rest are zero       ...
Baca selengkapnya

Matriks

Gambar
Matriks Dalam  matematika ,  matriks  adalah  susunan [1] bilangan ,  simbol , atau  ekspresi , yang disusun dalam  baris  dan  kolom  sehingga membentuk suatu bangun  persegi . [2] [3]  Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini adalah 2 × 3 (baca "dua per tiga"), karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom: {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.} Butir individual dalam  m  ×  n  matriks  A , sering dilambangkan dengan  a   i ,  j , dimana nilai maksimum  i  =  m  dan nilai maksimum  j  =  n , disebut  elemen ,  entri  atau  anggota  matriks. [4] Asalkan memiliki ukuran yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), dua matriks dapat  ditambahkan  atau dikurangkan elemen demi elemen (lihat  matriks yang dapat dibentuk ). Untuk a...
Baca selengkapnya